Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng :

\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\)

Vì \(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(1-2a+d=0\left(1\right)\)

\(A\in\left(S\right)\) nên ta có : \(4+4b+d=0\left(2\right)\)

Đường tròn (C) có tâm \(I\left(1;2\right)\) và có bán kính \(R=2\)

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) =

Vì d(I, α) < R Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 r= 8

Giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) =

Vì d(I, α) < R Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

K(-1, 2, 3)

Ta có: IK² = (-1 - 3)² + (2 + 2)² + (3 - 1)² = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r² = R² - IK² = 10² - 36 = 64 r= 8

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Gọi r là bán kinh đường tròn thiết diện, theo giả thiết ta có : \(S=\pi\Leftrightarrow r^2.\pi=\pi\Rightarrow r=1\)

Gọi d là khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\alpha\), ta có \(d^2=R^2-r^2=5-1\Rightarrow d=2\)

Mặt phẳng  \(\alpha\), qua N (0;-1;0) có dạng \(Ax+B\left(y+1\right)+Cz=0\Leftrightarrow Ax+By+Cz+B=0\left(A^2+B^2+C^2\ne0\right)\)

Mặt khác,  \(\alpha\)  qua M(1;-1;1) nên thỏa mãn \(A+C=0\Rightarrow\text{ }\) \(\alpha:Ax+By-Az+B=0\)

Vì \(d=d\left(I,\alpha\right)=\frac{\left|-3A\right|}{\sqrt{2A^2+B^2}}=2\Leftrightarrow A^2=4B^2\Rightarrow\frac{A}{B}=\pm2\) vì \(A^2+B^2+C^2\ne0\)

Do đó có 2 mặt phẳng  \(\alpha\), cần tìm là \(2x+y-2z+1=0\) và \(2x-y-2z-1=0\)

Gọi M(x,y) 

Trong (E) có : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)

Từ đó ta có : \(F_1\left(\sqrt{5};0\right);F_2\left(-\sqrt{5};0\right)\); \(F_1F_2=2\sqrt{5}\) 

=> \(\overrightarrow{F_1M}\left(x-\sqrt{5};y\right)\Rightarrow F_1M^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

tương tự \(F_2M^2=\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^{\text{o}}\) nên tam giác F₁MF₂ vuông tại M

=> F₁M² + F₂M² = F₁F₂²

<=>  \(\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2+\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2=20\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)

Lại có \(M\in\left(E\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

từ đó ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{5}\\y^2=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

a, \(\left|3x-4\right|+\left|3y+5\right|=0\)

Ta có :

\(\left|3x-4\right|\ge0\forall x;\left|3y+5\right|\ge0\forall x\\ \)

\(\Rightarrow\left|3x-4\right|+\left|3y+5\right|\ge0\forall x\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-4=0\\3y+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=4\\3y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4}{3}\\y=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\\ Vậy.........\)

b, \(\left|x+\dfrac{19}{5}\right|+\left|y+\dfrac{1890}{1975}\right|+\left|z-2004\right|=0\)

Ta có :

\(\left|x+\dfrac{19}{5}\right|\ge0\forall x;\left|y+\dfrac{1890}{1975}\right|\ge0\forall y;\left|z-2004\right|\ge0\forall z \)

\(\left|x+\dfrac{19}{5}\right|+\left|y+\dfrac{1890}{1975}\right|+\left|z-2004\right|\ge0\forall x;y;z\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{19}{5}=0\\y+\dfrac{1890}{1975}=0\\z-2004=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{19}{5}\\y=-\dfrac{1890}{1975}\\z=2004\end{matrix}\right.\\ Vậy............\)

c, \(\left|x+\dfrac{9}{2}\right|+\left|y+\dfrac{4}{3}\right|+\left|z+\dfrac{7}{2}\right|\le0\)

Ta có : \(\left|x+\dfrac{9}{2}\right|\ge0\forall x;\left|y+\dfrac{4}{3}\right|\ge0\forall y;\left|z+\dfrac{7}{2}\right|\ge0\forall z\)

\(\Rightarrow\left|x+\dfrac{9}{2}\right|+\left|y+\dfrac{4}{3}\right|+\left|z+\dfrac{7}{2}\right|\ge0\forall x;y;z\)

\(\Rightarrow\left|x+\dfrac{9}{2}\right|+\left|y+\dfrac{4}{3}\right|+\left|z+\dfrac{7}{2}\right|\ge0\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{9}{2}=0\\y+\dfrac{4}{3}=0\\z+\dfrac{7}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{9}{2}\\y=-\dfrac{4}{3}\\z=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\\ Vậy............\)

d, \(\left|x+\dfrac{3}{4}\right|+\left|y-\dfrac{1}{5}\right|+\left|x+y+z\right|=0\)

Ta có :

\(\left|x+\dfrac{3}{4}\right|\ge0\forall x;\left|y-\dfrac{1}{5}\right|\ge0\forall y;\left|x+y+z\right|\ge0\forall x;y;z\)

\(\Rightarrow\left|x+\dfrac{3}{4}\right|+\left|y-\dfrac{1}{5}\right|+\left|x+y+z\right|\ge0\forall x;y;z\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{4}=0\\y-\dfrac{1}{5}=0\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{4}\\y=\dfrac{1}{5}\\z=0-\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{20}\end{matrix}\right.\\ Vậy.......\)

e, Câu cuối bn làm tương tự như câu a, b, c nhé!

Ta có \(A\left(4;0;-4\right)\) và \(B\left(1;-1;0\right)\) thuộc d

Gọi phương trình (P): \(ax+by+cz+4d=0\)

Do (P) chứa d \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a-4c+4d=0\\a-b+4d=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c-d\\b=a+4d=c+3d\end{matrix}\right.\)

Phương trình (P) viết lại:

\(\left(c-d\right)x+\left(c+3d\right)y+cz+4d=0\)

Do (P) tiếp xúc (S):

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(c-d\right)-3\left(c+3d\right)+c+4d\right|}{\sqrt{\left(c-d\right)^2+\left(c+3d\right)^2+c^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|c-8d\right|=3\sqrt{3c^2+4cd+10d^2}\)

\(\Leftrightarrow26c^2+52cd+26d^2=0\) \(\Rightarrow c=-d\)

Giao của (P) và trục Oz (\(x=0;y=0\)):

\(cz+4d=0\Rightarrow z=-\frac{4d}{c}=4\Rightarrow\left(0;0;4\right)\)